Bijna alle golfverschijnselen zijn eigenlijk een combinatie van verschillende vormen van de standaard sinus en cosinus functies. Om aan te geven uit welke frequenties de golf ontstaat, is de zogenaamde fourieranalyse bedacht. Hierbij wordt, vaak in een staafdiagram, aangegeven welke frequenties er aanwezig zijn in het signaal.
Geluidssignalen bestaan vaak uit een cosinus in een bepaalde frequentie, dit is de grondtoon. De klankkleur wordt echter bepaald door de boventonen. Dat zijn cosinussen die als frequentie een veelvoud van de grondtoon hebben. Deze boventonen bepalen de klankkleur van het instrument door de sterkte waarin ze aanwezig zijn.
De blokgolf
Een voorbeeld van een golf die te ontleden is tot allemaal kleinere golfjes is een blokgolf:
Een blokgolf lijkt een beetje op een sinus, maar dan veel hoekiger. Fourier heeft ontdekt dat als je een oneindig aantal kleinere golfjes toevoegt aan een sinus dat je een blokgolf krijgt.
Laten we beginnen met een sinus: f(x) = sin x
Vervolgens voegen we de functie "g(x) = (1/3) sin 3x" toe:
Je ziet hier dat waar f(x) een piek heeft, zit g(x) in een dal. Hij verlaagt dus de pieken. g(x) heeft een piek waar f(x) nog aan het stijgen is naar de piek. Op die manier wordt de top dus een beetje afgevlakt. Een grafiek van f(x) + g(x) ziet er dus zo uit:
Ook die grafiek kun je door middel van de functie "h(x) = (1/7) sin 7x" meer op een blokgolf laten lijken. Zo kun je oneindig veel van deze functies toe voegen, het gaat steeds meet op een blokgolf lijken. Als je doorgaat tot "k(x) = (1/11) sin 11x" ziet de golf er bijvoorbeeld als volgt uit:
Maar hoe gaat de fourier analyse hiervan?
De eerste sinus is de grondfrequentie. De daarop volgende golf is drie keer zo zwak, maar heeft een dubbel zo hoge frequentie. In de fourieranalyse zou je dus een piek zien
bij de grondfrequentie, en dan een piek bij drie keer de grondfrequentie die maar 1/3 keer zo hoog als die van de grondfrequentie is. De volgende piek zit bij 5 keer de grondfrequentie, en is 1/5 keer zo sterk, etc. De fourieranalyse zou er dus als volgt uitzien:
Als je zo'n diagram hebt kun je dus ook makkelijk de golf wiskundig beschrijven, mits het beginpunt van elke functie hetzelfde is. X(t) kan uitgedrukt worden door alle aanwezige frequenties, bij elkaar op te tellen: x(t) = a0 + a1 cos t + a2 cos (f2 t) + a3 cos (f3 t) + ...
Hierin is de a0 de evenwichtsstand, a0 is niet af te leiden uit de fourieranalyse. a1, a2 en a3 zijn de amplitudes van de golven. In de fourieranalyse is dit dus de hoogte van de piek.
De f is de frequentie, de positie van de piek. Bij een blokgolf zou het volgende dus gelden: f2 = 3, f3 = 5, f4 = 7 etc.
Het is met de computer redelijk gemakkelijk om van een opgenomen geluid een fourieranalyse diagram te maken. Door de pieken daarin te analyseren kun je dus een wiskundige benadering van de golf maken. Ook kun je door fourieranalyse diagrammen met elkaar te vergelijken bepalen welke frequenties zorgen voor de grote verschillen in klankkleur van bijvoorbeeld een saxofoon en een gitaar. Daarna zou je dan kunnen proberen te verklaren waar deze verschillen vandaan komen.